はじめまして。この度はお宮参りとの事でおめでとうございます。
お宮参りが30日が目安とされていますが、安産祈願のお礼参りは急がないで宜しいでしょう。お近くではないのでしたら1年を目安に考えていただいても問題ありません。
また神社によって予約制のところもあるでしょうから、直接お問い合わせください。
お子さんの着物についてですが、安産祈願のときは「祝い着」で、お礼参りの際は主がお母さんですので、「祝い着」でなくても宜しいでしょう。
また氏神様ですが
「埼玉県神社庁」のHPをご覧下さい。
さいたま市緑区では23社紹介されていましたが、ざっと見たところお近くの神社がありましたよ。